复数公式大全
复数是数学中的一个重要分支，它将实数与虚数结合，拓展了数的概念。复数由实部和虚部组成，通常表示为 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部，而 \( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。复数在工程学、物理学以及信号处理等领域有着广泛应用。以下是一些重要的复数公式及其应用。
1. 复数的基本运算
- 加法与减法：两个复数相加或相减时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
\[
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
\]
\[
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
\]
- 乘法：复数的乘法规则为：
\[
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
\]
- 除法：分母有理化后计算，公式为：
\[
\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}
\]
2. 模与共轭
- 模（绝对值）：复数的模定义为其到原点的距离，即：
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
- 共轭复数：复数的共轭记作 \( \overline{z} \)，定义为：
\[
\overline{z} = a - bi
\]
3. 极坐标形式
复数也可以用极坐标形式表示，即 \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)，其中 \( r = |z| \) 是模长，\( \theta \) 是辐角。
- 欧拉公式：复数可以用指数形式表示为：
\[
z = re^{i\theta}
\]
- 棣莫弗定理：用于复数的幂运算：
\[
(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))
\]
4. 根的求解
- n次方根公式：若 \( z = re^{i\theta} \)，则 \( z \) 的 n次方根为：
\[
z_k = \sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right], \quad k = 0, 1, ..., n-1
\]
复数的这些公式不仅提供了强大的计算工具，还揭示了数学结构的深刻之美。掌握这些公式，有助于解决许多实际问题，如电路分析、振动理论及量子力学等。
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