柯西不等式证明（柯西不等式）

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1、柯西不等式 　 二维形式　　(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2　　等号成立条件：ad=bc　　 三角形式　　√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]　　等号成立条件：ad=bc　　注：“√”表示平方根，　　 向量形式　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

2、　　 一般形式　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

3、　　上述不等式等同于图片中的不等式。

4、　　 推广形式　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/m)＋(Πy)^(1/m)＋…]^m　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。

5、此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均　　不小于各列元素之和的几何平均之积。

6、（应为之积的几何平均之和）。

本文分享完毕，希望对大家有所帮助。

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