逆矩阵的求法及应用(逆矩阵的求法)

桑宗朋
导读 大家好,乐天来为大家解答以下的问题,关于逆矩阵的求法及应用,逆矩阵的求法这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、设A是数域上的

大家好,乐天来为大家解答以下的问题,关于逆矩阵的求法及应用,逆矩阵的求法这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。

2、例如:扩展资料性质:可逆矩阵一定是方阵。

3、2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。

4、3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。

5、记作(A-1)-1=A。

6、4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。

7、即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。

8、6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

9、7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

10、证明方法:逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。

11、设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C,假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

12、由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。

13、矩阵A可逆,有AA-1=I 。

14、(A-1) TAT=(AA-1)T=IT=I ,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。

15、而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。

16、在AB=O两端同时左乘A-1(BA=O同理可证),得A-1(AB)=A-1O=O,而B=IB=(AA-1)B=A-1(AB),故B=O,由AB=AC(BA=CA同理可证),AB-AC=A(B-C)=O,等式两边同左乘A-1,因A可逆AA-1=I 。

17、得B-C=O,即B=C。

本文分享完毕,希望对大家有所帮助。

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