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1、一、单点运动例1.(2006长春)如图,在平面直角坐标系中,两个函数y=x, 的图象交于点A。
2、动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ//x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与ΔOAB重叠部分的面积为S。
3、(1)求点A的坐标。
4、(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式。
5、(3)在(2)的条件下,S是否有最大值?若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由。
6、(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN和ΔOAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是__________。
7、解:(1)由 ,可得 ∴A(4,4)。
8、(2)点P在y=x上,OP=t,则点P坐标为( )。
9、点Q的纵坐标为 ,并且点Q在 上。
10、∴ 。
11、点Q的坐标为( )PQ 。
12、当 当 时,当点P到达A点时, 当 时,(3)有最大值,最大值应在 中,当 时,S的最大值为12。
13、(4) 二、双点运动例2.(2006广安)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线 经过点A、B,且 。
14、(1)求抛物线的解析式。
15、(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动。
16、①移动开始后第t秒时,设 ,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;②当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由。
17、解:(1)据题意知:A(0,-2),B(2,-2)∵A点在抛物线上,∴ 由AB=2知抛物线的对称轴为:x=1即: ∴抛物线的解析式为: (2)①由图象知: 即 ②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形。
18、∵ ∴ ∴ 。
19、这时 ,BQ=0.8,P(1.6,-2),Q(2,-1.2)分情况讨论:A)假设R在BQ的右边,这时 ,则:R的横坐标为2.4,R的纵坐标为-1.2,即(2.4,-1.2)代入 ,左右两边相等∴这时存在R(2.4,-1.2)满足题意。
20、B)假设R在BQ的左边,这时 ,则:R的横坐标为1.6,纵坐标为-1.2,即(1.6,-1.2)代入 ,左右两边不相等,R不在抛物线上。
21、C)假设R在PB的下方,这时 ,则:R(1.6,-2.4)代入 ,左右不相等,R不在抛物线上。
22、综上所述,存在一点R(2.4,-1.2)三、直线运动例3.(2006锦州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方)。
23、(1)求A、B两点的坐标;(2)设ΔOMN的面积为S,直线l运动时间为t秒( ),试求S与t的函数表达式;(3)在题(2)的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积是多少?解:(1)∵四边形OBABC为菱形,点C的坐标为(4,0)∴OA=AB=BC=CO=4。
24、过点A作AD⊥OC于D。
25、∵∠AOC=60°,∴OD=2, 。
26、∴A(2, ),B(6, )。
27、(2)直线l从y轴出发,沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况:① 时,直线l与OA、OC两边相交(如图①)。
28、∵MN⊥OC,∴ON=t。
29、∴ 。
30、②当 时,直线l与AB、OC两边相交(如图②) 。
31、③当 时,直线l与AB、BC两边相交(如图③)设直线l与x轴交于点H。
32、∵ ,∴ 。
33、∴ ,(3)由(2)知,当 时, ;当 时, ;当 时,配方得 ,∴当t=3时,函数 。
34、但t=3不在 内,∴在 内,函数 的最大值不是 。
35、而当t>3时,函数 随t的增大而减小,∴当 。
36、综上所述,当t=4秒时, 。
37、四、三角形运动例4.(2006青岛)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O是ΔEFG斜边上的中点。
38、如图②,若整个ΔEFG从图①的位置出发,以1cm/s的速度沿射线AB方向平移,在ΔEFG平移的同时,点P从ΔEFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,ΔEFG也随之停止平移。
39、设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况)。
40、(1)当x为何值时,OP//AC?(2)求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围。
41、(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13:24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由。
42、(参考数据: )解:(1)∵RtΔEFG∽RtΔABC,∴ 。
43、∴ 。
44、∵当P为FG的中点时,OP//EG,EG//AC,∴OP//AC。
45、∴ 。
46、∴当x为1.5s时,OP//AC。
47、(2)在RtΔEFG中,由勾股定理得:EF=5cm。
48、∵EG//AH,∴ΔEFG∽ΔAFH。
49、∴ 。
50、∴ 。
51、∴ 。
52、过点O作OD⊥FP,垂足为D。
53、∵点O为EF中点,∴ 。
54、∵ ,∴ (3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13:24。
55、则 ∵0 56、五、矩形运动例5.(2006南安)如图所示,在直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在x轴上,点A在原点,AB=3,AD=5。 57、若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动。 58、同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A—B—C—D的路线作匀速运动。 59、当P点运动到D点时停止运动,矩形ABCD也随之停止运动。 60、(1)求P点从A点运动到D点所需的时间;(2)设P点运动时间为t(秒)。 61、①当t=5时,求出点P的坐标;②若ΔOAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式(并写出相应的自变量t的取值范围)。 62、解:(1)P点从A点运动到D点所需的时间= (秒)(2)①当t=5时,P点从A点运动到BC上,此时OA=10,AB+BP=5,∴BP=2过点P作PE⊥AD于点E,则PE=AB=3,AE=BP=3∴ ∴点P的坐标为(12,3)。 63、②分三种情况:(i)当 时,点P在AB上运动,此时OA=2t,AP=t(ii)当 时,点P在AB上运动,此时OA=2t∴ (iii)当8 64、解:(1)由题意,得 解得 抛物线的解析式为 (2)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况。 65、(如图1)图1设点P坐标为( , )则当⊙P与y轴相切时,有 由 ∴P1(-1,10),由 ,得 ∴P2(1,2)当⊙P与x轴相切时有 ∵抛物线开口向上,且顶点在x轴的上方。 66、∴y0=1由 ,得 ,解得 ,B(2,1)综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为:P1(-1,10),P2(1,2),P3(2,1)(3)设点Q坐标为(x,y),则当⊙Q与两条坐标轴都相切时(如图2),有 由y=x得 ,即 ,解得 ;由 ,得 。 67、即 ,此方程无解∴⊙O的半径为。 本文分享完毕,希望对大家有所帮助。 标签:
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