摄影定理有逆定理吗(摄影定理是什么)

荀斌昌
导读 大家好,乐天来为大家解答以下的问题,关于摄影定理有逆定理吗,摄影定理是什么这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、是射影定理

大家好,乐天来为大家解答以下的问题,关于摄影定理有逆定理吗,摄影定理是什么这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、是射影定理吧?直角三角形射影定理   直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

2、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

3、  公式 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:  (1)(AD)^2=BD·DC,  (2)(AB)^2=BD·BC ,  (3)(AC)^2=CD·BC 。

4、  证明:在 △BAD与△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD=CD/AD,即(AD)^2=BD·DC。

5、其余类似可证。

6、直角三角形射影定理   直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

7、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

8、  公式 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:  (1)(AD)^2=BD·DC,  (2)(AB)^2=BD·BC ,  (3)(AC)^2=CD·BC 。

9、  证明:在 △BAD与△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD=CD/AD,即(AD)^2=BD·DC。

10、其余类似可证。

11、 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”:  设⊿ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有  a=b·cosC+c·cosB,  b=c·cosA+a·cosC,  c=a·cosB+b·cosA。

12、  注:以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理。

13、  证明1:设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且  BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。

14、     证明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA  =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。

15、 下面是意义及例题 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理,尽管义务教材中没有列入,但在几何证明及计算中应用很广泛,若能很好地掌握并灵活地运用它,常可取到事半功倍的效果。

16、一般地,若将定理中的直角三角形条件非直角化,亦可得到类似的结论(这里暂且称之为射影定理的推广)­­­­­­,而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路,熟练地掌握并巧妙地运用,定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时,“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

17、下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

18、一、射影定理  射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项;且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

19、 如图(1):Rt△ABC中,若CD为高,则有CD2=BD•AD、BC2=BD•AB或AC2=AD•AB。

20、(证明略)二、变式推广  1.逆用  如图(1):若△ABC中,CD为高,且有DC2=BD•AD或AC2=AD•AB或BC2=BD•AB,则有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B,均可等到△ABC为直角三角形。

21、    (证明略)  2.一般化,若△ABC不为直角三角形,当点D满足一定条件时,类似地仍有部分结论成立。

22、(后文简称:射影定理变式(2))   如图(2):△ABC中,D为AB上一点,若∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A,则有△CDB∽△ACB,可得BC2=BD•AB;反之,若△ABC中,D为AB上一点,且有BC2=BD•AB,则有△CDB∽△ACB,可得到∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A。

23、       (证明略)三、应用例1 如图(3),已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,高AD、BE交于点H,求证:4DH•DA=BC2 分析: 易证∠BAD=∠CAD=900-∠C=∠HBD,联想到射影定理变式(2),可得BD2=DH•DA,又BC=2BD,故有结论成立。

24、(证明略)  例2 如图(4):已知⊙O中,D为弧AC中点,过点D的弦BD被弦AC分为4和12两部分,求DC。

25、  分析:易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE,满足射影定理变式(2)的条件,故有CD2=DE•DB,易求得DC=8(图没找到,好在这图简单,自己想象一下吧)  (解略) 例3 已知:如图(5),△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,    求证:DF2=CF•BF。

26、    证明:连AF, ∵FH垂直平分AD,       ∴FA=FD, ∠FAD=∠FDA,      ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,      ∴∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD,      ∵∠B=∠FDA-∠BAD,      ∴∠FAC=∠B,又∠AFC公共,      ∴△AFC∽△BFA,∴ = ,∴AF2=CF•BF,∴DF2=CF•BF。

27、例4  如图(6),已知⊙O中,AB 为直径,△ABC内接于圆,AE =AC ,连BE 交圆于点F ,求证:∠ACF =∠AED 。

28、分析:由条件易知,△ABC为直角三角形,CD为高,由射影定理有AC 2=AD•AB,又AE=AC ,故有AE 2=AD•AB,满足射影定理变式(2)条件,易得结论成立。

29、例5 已知:如图(7),直线y= x+3交x轴于点A,交y轴于点B,以点M(4,0)为圆心,MB为半径作⊙M交AB的延长线于D,与y轴交于另一点C   (!)求点D的坐标。

30、   (2)连AC、MD、CD,CD交x轴于E,求证:△ACE≌△DME。

31、   (3)若P为弧BC上任一点时(图8),PE的延长线交M于Q,点,问当点P在弧BC(不含端点B、C)上运动时,AP•AQ的值地否改变?试证明你的结论。

32、略解:(1)作DN⊥x轴于N,运用割线定理及相似三角形的性质,可得D的坐标为( , )。

33、  (2)法1:由△COE∽△DNE,通过计算有EM=EC,          AE=DE,又∠AEC=∠DEM,          ∴△ACE≌△DME。

34、            法2:连BM,∵∠ACE=∠ACB+∠BCD,          ∠ACB=∠ABC=∠BCD+∠BDC,     ∴∠ACE=∠BDC+2∠BCD,          ∵∠BDC=∠BME, ∠DMB=2∠BCD, ∴∠ACE=∠DME, 又∠AEC=∠DEM,DM=AC=5∴△ACE≌△DME  (3)AP•AQ的值为定值。

35、连MP,∵△ACE≌△DME,∴∠CAE=∠MDE,∴△AMD∽△DME,∴DM2=ME•MA, ∵MP=MD,∴MP2=ME•MA, ∴△MPE∽△MAP,∴∠MPE=∠EAP, ∵MQ=DM, ∴MQ2=ME•MA, ∴△MEQ∽△MQA,∴∠MEQ=∠MQA, ∠MQE=∠QAM,∵∠MPE=∠MQE,∠MEQ=∠PEA,∴∠EAP=∠QAM, ∠PEA=∠MQA,∴△APE∽△AMQ ,∴ = ,∴AP•AQ=AE•AM=AM2-EM•AM=AM2-DM2=82-52=39。

36、   点评:本例(3)中围绕PM2=MQ2=DM2=ME•MA,反复运用变式推广2,正面用过来,反面用回去,其运用之妙,体现着数学的变化之美。

37、例6 已知:如图(9),直线y=2x+2交x、y轴于A、C两点,过A、C两点作⊙M,交轴于另一点B,交轴于另一点D,且圆心M在轴上(1) 求点M的坐标。

38、(2) 以A为圆心,AC为半径作⊙A(如图10),点P为⊙A的优弧CD上任一点,连PO并延长交A于Q点,求证:∠OBP=∠OBQ。

39、(3) 当点P在⊙A的优弧CD(不含端点C、D)上运动时,BP•BQ的值是否发生改变?试证明你的结论。

40、略解:(1)易求得点M的坐标为(2/3 ,0)。

41、(解略。

42、)    (2)连AQ、AP、AC、BC,∵∠ACO=∠ABC, ∴AC2=AO•AB,∵AQ=AC,   ∴AQ2=AO•AB, ∴△AOQ∽△AQB, ∴∠AQO=∠OBQ,∵AP=AC,  ∴AP2=AO•AB,∴△AOP∽△APB,∴∠APO=∠OBP,∵∠APO=∠AQO, ∴∠OBP=∠OBQ。

43、(3)∵△AOP∽△APB,∴∠AOP=∠APB,    ∵∠AOP=∠QOB,∴∠APB=∠QOB,又∠OBP=∠OBQ,       ∴△APB∽△QOB,∴ = ,∴BP•BQ=AB•••••BO=5ⅹ4=20。

44、 多谢采纳。

本文分享完毕,希望对大家有所帮助。

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