海明码码距怎么算(海明码)

赫连伟昌
导读 大家好,乐天来为大家解答以下的问题,关于海明码码距怎么算,海明码这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、海明码是一种可以纠正...

大家好,乐天来为大家解答以下的问题,关于海明码码距怎么算,海明码这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、海明码是一种可以纠正一位差错的编码。

2、它是利用在信息位为k位,增加r位冗余位,构成一个n=k+r位的码字,然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。

3、它必需满足以下关系式: r 2^r ≥ k r 1 或 2^r ≥ n 1海明码的编码效率为: R=k/(k+r) 式中 k为信息位位数 r为增加冗余位位数目录 1.海明码的原理 2.海明码的生成与接收 3.海明码的计算 4.海明码校验程序设计原理分析参考编辑本段1.海明码的原理  在数据中间加入几个校验码,码距均匀拉大,将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里,当某一位出错,会引起几个校验位的值发生变化。

4、  海明不等式:  校验码个数为K,2的K次方个信息,1个信息用来指出“没有错误”,其余(2^K)-1个指出错误发生在那一位,但也可能是校验位错误,故有N<=(2^K)-1-K能被校验。

5、  海明码的编码规则:  1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次方的位置上,  2.海明码的每一位(Hi)是由多个/1个校验值进行校验的,被校验码的  位置码是所有校验位的校验位位置码之和。

6、  一个例题:  4个数据位d0,d1,d2,d3, 3个校验位r0,r1,r2,对应的位置为:  d3 d2 d1 r2 d0 r1 r0 ======b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1  校验位的取值,就是他所能校验的数据位的异或  b1为b3,b5,b7的异或,b2为b3,b6,b7 b4为b5,b6,b7  海明v传送到接受方后,将上三式的右边(b1,b2,b4)的逻辑表达式分别  异或上左边的值就得到了校验方程,如果上题采用偶校验  G1=b1 b3 b5 b7的异或  G2=b2 b3 b6 b7的异或  G3=b4 b5 b6 b7的异或  若G1G2G3为001是第一位错  若为011是第三位错编辑本段2.海明码的生成与接收  特注:以下的+均代表异或  方法一:  1)海明码的生成。

7、  例1.已知:信息码为:"0010"。

8、海明码的监督关系式为:  S2=a2+a4+a5+a6  S1=a1+a3+a5+a6  S0=a0+a3+a4+a6  求:海明码码字。

9、  解:1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。

10、  2)冗余码与信息码合成的海明码是:"0010a2a1a0"。

11、  设S2=S1=S0=0,由监督关系式得:  异或运算:  a2=a4+a5+a6=1  a1=a3+a5+a6=0  a0=a3+a4+a6=1  因此,海明码码字为:"0010101"  对以上这道题目的第二问的疑问:  冗余码与信息码合成的海明码是:"0010a2a1a0"。

12、为什么a2a1a0直接加在信息码后面,而不是按照1,2,4,8位的顺序加在信息码后面【例如:001(a2)0(a1)(a0)=0011001】  2)海明码的接收。

13、  例2.已知:海明码的监督关系式为:  S2=a2+a4+a5+a6  S1=a1+a3+a5+a6  S0=a0+a3+a4+a6  接收码字为:"0011101"(n=7)  求:发送端的信息码。

14、  解:1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。

15、  2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表:  S2S1S0  000  001  010  100  011  101  110  111  错码位置  无错  a0  a1  a2  a3  a4  a5  a6  3)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。

16、  4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字:"0 0 1 0 1 0 1"  5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码:"0010"  方法二:(不用查表,方便编程)  1)海明码的生成(顺序生成法)。

17、  例3.已知:信息码为:" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=4代表冗余位数,即校验码位数)  求:海明码码字。

18、  解:1)把冗余码A、B、C、…,顺序插入信息码中,得海明码  码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 "  码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  其中A,B,C,D分别插于2的k次方位(k=0,1,2,3)。

19、码位分别为1,2,4,8。

20、  2)冗余码A,B,C,D的线性码位是:(相当于监督关系式)  监督关系式的推导:  D C B A  1 0 0 0 1  2 0 0 1 0  3 0 0 1 1  4 0 1 0 0  5 0 1 0 1  6 0 1 1 0  7 0 1 1 1  8 1 0 0 0  9 1 0 0 1  10 1 0 1 0  11 1 0 1 1  12 1 1 0 0  根据上面表格得到 A B C D  需要说明的是公式中参与计算的是表格中出现"1"的那个位 右边是数据位的二进制数,公式中的"+"表示异或  故此有如下表达式:  A->1,3,5,7,9,11;(这里的1 3 5 7 9 11均为A那一列出现1的位)  B->2,3,6,7,10,11;  C->4,5,6,7,12;(注 5=4+1;6=4+2;7=4+2+1;12=8+4)  D->8,9,10,11,12。

21、  3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0):  A=∑(0,1,1,0,1,0)=1  B=∑(0,1,0,0,1,0)=0  C=∑(0,1,0,0,0) =1  D=∑(0,1,1,0,0) =0  4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"  2)海明码的接收。

22、  例4.已知:接收的码字为:"1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=4代表冗余位数,即校验码位数)  求:发送端的信息码。

23、  解:1)设错误累加器(err)初值=0  2)求出冗余码的偶校验和,并按码位累加到err中:  A=∑(1,0,1,0,1,0)=1 err=err+2^0=1  B=∑(0,0,0,0,1,0)=1 err=err+2^1=3  C=∑(1,1,0,0,0) =0 err=err+0 =3  D=∑(0,1,1,0,0) =0 err=err+0 =3  由err≠0可知接收码字有错,  3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值3。

24、  4)纠错--对码字的第3位值取反得正确码字:  "1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"  5)把位于2的k次方位的冗余码删除得信息码:"1 1 0 0 1 1 0 0"编辑本段3.海明码的计算  海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。

25、  码字(Code Word) 按如下方法构建:  把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)  2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)  3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性,其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。

26、  位置1:校验1位,跳过1位,校验1位,跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)  位置2:校验2位,跳过2位,校验2位,跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)  位置4:校验4位,跳过4位,校验4位,跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)  位置8:校验8位,跳过8位,校验8位,跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)  …  如果全部校验的位置中有奇数个1,把该奇偶校验位置为1;如果全部校验的位置中有偶数个1,把该奇偶校验位置为0.  举例说明:  一个字节的数据:10011010  构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0  计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):  位置1检查1,3,5,7,9,11:  ? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置1设为0,即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0  位置2检查2,3,6,7,10,11:  0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置2设为1,即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0  位置4检查4,5,6,7,12:  0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1,因此位置4设为1,即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0  位置8检查8,9,10,11,12:  0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1,因此位置8设为0,即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0  因此码字为: 011100101010.  查找并纠错一位错误  上例中构建了一个码字 011100101010,假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。

27、方法就是验证每一个校验位。

28、记下所有出错的校验位,可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。

29、一般说来,对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置.编辑本段4.海明码校验程序设计原理分析参考  海明码校验是为了保证数据传输正确而提出的,本来就是一串要传送的数据,如:D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0,这里举的是八位数据,可以是n位数据。

30、就这样传送数据,不知道接收到后是不是正确的。

31、所以,要加入校验位数据才能检查是否出错。

32、这里涉及到一个问题,要多少位校验数据才能查出错误呢?  我们只要能检测出一位出错,则对于8位信息数据,校验位为4位。

33、满足下列条件:2的k次方大于等于n+k+1,其中k为校验位位数,n为信息数据位位数。

34、验证一下,2的4次方等于16,n+k+1等于8+4+1等于13。

35、 8位信息数据与4位校验位总共有12位数据,怎么排列呢?我们先把校验位按P4,P3,P2,P1排列,用通式Pi表示校验位序列,i为校验位在校验序列中的位置。

36、 传送的数据流用M12,M11,M10,M9,M8,M7,M6,M5,M4,M3,M2,M1表示,接下来的问题是如何用D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0与P4,P3,P2,P1来表M12,M11,M10,M9,M8,M7,M6,M5,M4,M3,M2,M1了。

37、校验位在传送的数据流中位置为2的i-1次方,则P1在M1位,P2在M2位,P3在M4位,P4在M8位。

38、其余的用信息数据从高到低插入。

39、 传送的数据流为D7,D6,D5,D4,P4,D3,D2,D1,P3,D0,P2,P1。

40、 接下来,我们要弄明白如何找出错误位的问题。

41、引进4位校验和序列S4,S3,S2,S1。

42、S4,S3,S2,S1等于0,0,0,0表示传送的数据流正确;如S4,S3,S2,S1等于0,0,1,0则表示传送的数据流中第2位出错;如S4,S3,S2,S1等于0,0,1,1则表示传送的数据流中第3位出错;依次类推。

43、  用M12,M11,M10,M9,M8,M7,M6,M5,M4,M3,M2,M1如何表示S4,S3,S2,S1呢,简单的方法就是S1=1时,S4,S3,S2从0,0,0到1,1,1的所有的Mx异或。

44、即S1等于M1异或M3异或M5异或M7异或M9异或M11。

45、也就是S1等于P1异或D0异或D1异或D3异或D4异或D6。

46、S2=1时,S4,S3,S1从0,0,0到1,1,1的所有的Mx异或。

47、即S2等于M2异或M3异或M6异或M7异或M10异或M11。

48、S3=1时,S4,S2,S1从0,0,0到1,1,1的所有的Mx异或。

49、即S3等于M4异或M5异或M6异或M7异或M12。

50、S4=1时,S3,S2,S1从0,0,0到1,1,1的所有的Mx异或。

51、即S4等于M8异或M9异或M10异或M11异或M12。

52、这样,对于一串码流,知道几位校验位,可以很快确定哪一位出错。

53、而在发送端,可以根据S4,S3,S2,S1的表达式求出P4,P3,P2,P1的表达式,只要把式子右边的P4或P3或P2或P1移到左边替换掉S4或S3或S2或S1就可以了。

54、面举例说明:用^表示异或  D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0=11010001  S4=M8^M9^M10^M11^M12=D7^D6^D5^D4^P4; P4=D7^D6^D5^D4;  S3=M4^M5^M6^M7^M12 =D7^D3^D2^D1^P3; P3=D7^D3^D2^D1;  S2=M2^M3^M6^M7^M10^M11 =D6^D5^D3^D2^D0^P2; P2=D6^D5^D3^D2^D0;  S1=M1^M3^M5^M7^M9^M11=D6^D4^D3^D1^D0^P1; P1=D6^D4^D3^D1^D0;  所以,  P4=D7^D6^D5^D4=1^1^0^1=1  P3=D7^D3^D2^D1=1^0^0^0=1  P2= D6^D5^D3^D2^D0=1^0^0^0^1=0 P1=D6^D4^D3^D1^D0=1^1^0^0^1=1  故,传送码流为D7,D6,D5,D4,P4,D3,D2,D1,P3,D0,P2,P1等于  110110001101  若接收端收到110110001101,则  S4=M8^M9^M10^M11^M12=1^1^0^1^1=0  S3=M4^M5^M6^M7^M12=1^0^0^0^1=0  S2=M2^M3^M6^M7^M10^M11=0^1^0^0^0^1=0  S1=M1^M3^M5^M7^M9^M11=1^1^0^0^1^1=0  故,接收码流正确。

55、  若M6出错,由0变为1。

56、则  S4=M8^M9^M10^M11^M12=1^1^0^1^1=0  S3=M4^M5^M6^M7^M12=1^0^1^0^1=1  S2=M2^M3^M6^M7^M10^M11=0^1^1^0^0^1=1 S1=M1^M3^M5^M7^M9^M11=1^1^0^0^1^1=0  即S4S3S2S1=0110,此为十进制的6,说明第六位出错,也就是M6出错。

57、完全符合。

58、  5.海明码的表格计算  如果对于m位的数据,增加k位冗余位,则组成位n=m+k位的纠错码。

59、对于2^m个有效码字中的每一个,都有n个无效但可以纠错的码字。

60、这些可纠错的码字与有效码字的距离是1,含单个错误位。

61、这样,对于一个有效的消息总共有n+1个可识别的码字。

62、这n+1个码字相对于其他2^m-1个有效消息的距离都大于1。

63、这意味着总共有2^m(n+1)个有效的或是可纠错的码字。

64、显然这个数应小于等于码字的所有的可能的个数2^n。

65、于是我们有  2^m(n+1)<2^n  因为n=m+k,我们得出  m+k+1<2^k  对于给定的数据位m,上式给出了k的下界,即要纠正单个错误,k必须取最小的值。

66、海明建议了一种方案,可以达到这个下界,并能直接指出错在哪一位。

67、首先把码字的位从1到n编号,,并把这个编号表示成二进制数,即2的幂之和。

68、然后对2的每一个幂设置一个奇偶位。

69、例如对于6号位,由于6=110(二进制),所以6号位参加第2位和第4位的奇偶校验,而不参加第1位奇偶校验。

70、类似的9号位参加第1位和第8位的奇偶校验而不参加第2位和第4位的奇偶校验。

71、海明把奇偶校验分配在1,2,4,8等位置上,其他位置放数据。

72、下面根据海明编码的例图,举例说明编码的方法 海明编码的例海明编码的例  例如传送的消息为:1001011  我们把数据放在3,5,6,7,9,10,11等位置上,1,2,4,8则为校验位。

73、  1001011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  根据海明编码的例,3、5、7、9、11的二进制编码的第一位为1,所以3、5、7、9、11号位参加第一位校验位,若按偶校验计算,1号位应为1  11001011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  类似的,3、6、7、10、11号位参加2号位校验,5、6、7号位参加4号位校验,9、10、11号位参加8号位校验,全部按偶校验计算,最终得到如下结果  10110010011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  如果这个码字传输中有错误,比如说6号位出错。

74、就会变成  √ ╳ ╳ √  10110110011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  当接收端按照同样的规则计算奇偶位时,就会发现1号位和8号位的奇偶性正确而2号位和4号位的奇偶性不对,于是2+4=6,,立即可以判断错在6号位。

75、  上例中k=4,因而m<2^4-4-1=11,即数据位可以用到11位,共组成15位的码字,可检测出单个位置的错误。

本文分享完毕,希望对大家有所帮助。

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